Mi è stato detto che la chiave del fantacalcio (a cui non ho mai giocato) è quella di individuare quale calciatore effettivamente scenderà in campo la domenica. O si tira a caso, oppure ci si informa sulle varie testate sportive –e poi si tira a caso.
Qual è la probabilità che un calciatore, diciamo Pippo, scenderà in campo dato che un certo numero di testate lo danno per favorito?
Non lo so, ma è un buon esempio per vedere come funzionano la “interpretazione logica della probabilità” di Richard Cox. Come dice Wikipedia: “As the laws of probability derived by Cox’s theorem are applicable to any proposition, logical probability is a type of Bayesian probability.”
Introduciamo due assiomi. Immaginiamo che il lunedì pensiamo alla partita di domenica prossima, e che la Gazzetta pubblichi le probabili formazioni il giovedì:
- Se possiamo dire quanto crediamo che Pippo giocherà domenica prossima, possiamo anche dire quanto crediamo che Pippo non giocherà. Banale.
- Se possiamo dire quanto crediamo che giovedì la Gazzetta dirà che Pippo giocherà, e possiamo dire quanto crediamo che Pippo giocherà quando la Gazzetta lo dà giocatore, allora possiamo anche dire quanto crediamo (il lunedì) che domenica sera avremo avuto sia Pippo in campo la mattina, sia Pippo nella probabile formazione della Gazzetta il sabato prima. In altre parole: se conosco la Gazzetta, conosco Pippo.
Con questi due assiomi possiamo scrivere due formule, che mappano i nostri “quanto crediamo che….” con numeri reali positivi. Tipo: “su una scala da 0 a 20 la probabilità che Pippo giochi secondo me è 18″ vuol dire che sono abbastanza convinto che Pippo giocherà. In probabilità, normalmente, invece di una scala da 0 a 20 si usa una scala da 0 a 1, ma è pura convenzione. Le formule:
La probabilità che pippo giochi date certe informazoni più la probabilità che pippo non giochi, date le stesse informazioni, è uguale a 1 –la crediamo sempre vera:
(1) prob(gioca | info) +prob(non gioca | info) = 1
La probabità che domenica sera ci si ritrovi con Pippo che è stato in campo e con la Gazzetta che sabato lo aveva messo nella probabile formazione è uguale alla probabilità che Pippo giochi quando la Gazzetta lo mette in formazione, per la probabilità che la Gazzetta lo metta in formazione:
(2) prob(gioco, in_formazione | info) =
prob(gioco | in_formazione, info) • prob(in_formazione, info)
Dove la virgola “,” vuol dire “e allo stesso tempo”, la barra “|” vuol dire “dato”, e il punto “•” vuol dire “moltiplicato per”.
La cosa importante da capire è che quando diciamo “probabilità” intendiamo “quanto fortemente credo che”. Probabilità 90% non vuol dire che testando il modello cento milioni di volte la mia ipotesi si avvera 90 milioni di volte. La probabilità che Pippo giocherà è data da vari fattori, come lo stato della sua forma fisica, la squadra avversaria e la formazione conseguentemente scelta dall’allenatore etc etc. Su questa base, e solo su questa, io devo stimare la probabilità che Pippo giocherà. Ma siccome sono pigro faccio fare questo lavoro alla Gazzetta e uso la sua stima per la mia fanta-formazione.
Teorema di Bayes
Le due formule sopra sono la base su cui costruire un algebra delle probabilità. La prima formula da ottenere è il teorema di Bayes. Definiamo:
G: Pippo gioca
F: La Gazzetta lo mette nella probabile formazione
I: Informazioni varie sullo stato fisico di Pippo etc etc
Possiamo quindi scrivere:
(3) prob(G| F, I) = prob(F | G, I) • prob(G, I) / prob(F | I)
La formula (3) deriva direttamente dalla (2) con F e G intercambiati:
(2′) prob(F, G | I) = prob(F | G, I) • prob(G | I)
Poiché la probabilità che “F e G siano vere domenica sera” è uguale alla probabilità che “G e F siano vere domenica sera”, ossia prob(F, G | I)=prob(G, F | I), possiamo eguagliare i secondi termini delle formule (2) e (2′) e ottenere (3).
Marginalizzazione
La seconda formula è la formula di marginalizzazione. Consideriamo che:
(4) prob(G | I) = prob(G, F | I) + prob(G, notF | I)
La (4) ci dice che la probabilità che Pippo giochi è uguale alla probabilità che Pippo giochi e la Gazzetta lo metta in formazione più la probabilità che Pippo giochi e la Gazzetta non lo metta in formazione. Ovvio.
Ora, immaginiamo che invece di guardare solo la Gazzetta noi saggiamente andiamo a guardare 5 giornali sportivi. Ognuno di questi giornali metterà o meno Pippo nella sua probabile formazione: abbiamo 32 possibili combinazioni, da 0, 0, 0, 0, 0 (nessun giornale mette Pippo in formazione) a 1, 1, 1, 1, 1 (tutti i giornali mettono Pippo in formazione). Ognuna di queste 32 combinazioni che chiamiamo F1, F2, F3…. F32 è mutuamente esclusiva, ossia solo una può essere vera. Aggiungiamo anche che almeno una deve essere vera: queste sono tutte le combinazioni possibili. Quindi possiamo scrivere:
(5) prob(G | I) =
prob(G, F1 | I) + prob(G, F2 | I) + …. + prob(G, F32 | I)
Siccome abbiamo detto che le F1…F32 sono mutualmente esclusive, la (5) è ovvia quanto la (4): la probabilità che Pippo giochi è uguale alla probabilità che giochi dopo che nessun giornale lo abbia messo in formazione, più la probabilità che giochi dopo che solo uno dei cinque giornali lo abbia messo in formazione, e così via.
Tutto questo non aiuta, ancora, a prevedere se Pippo giocherà o no, ma secondo me insegna qualcosa: guardate pure le probabili formazioni dei giornali, ma metteteci del vostro. Siate voi gli esperti capaci di prevedere se un giocatore giocherà o meno, a prescindere da quello che dicono i giornali….
