Introduzione alla matematica
Posted on September 7, 2006
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Questa introduzione alla matematica e` stata scritta per le prime lezioni del corso di matematica tenuto alla scuola Florestan Fernandes (vicino San Paolo, Brasile) del Movimento dei Lavoratori Senza Terra. Era indubbiamente troppo avanzata: dei 65 studenti che avevo solo pochi potevano arrivare dopo una, due lezioni a calcolare un elevamento a potenza. E cosi` il corso e` stato incentrato quasi esclusivamente… sulle frazioni. Pero` l’introduzione storico-filosofica era pronta e quindi le prime due ore, per il terrore degli studenti, sono state dedicate a Euclide, Peano, Russel, Goedel e altri.
1 Da Russel a Godel
Che cos’e` la matematica? La matematica inizia da concetti semplicissimi, come l’aritmetica, che per la maggior parte delle persone non hanno bisogno di spiegazione, per arrivare a lavorare con concetti astratti, che hanno piu` nulla a che vedere con le nozioni comuni di matematica.
La matematica si basa prima di tutto sul concetto di numero, sul concetto di quantita`. A prima vista non sembra possibile definire che cos’e` un numero. Possiamo dire pero` che esistono concetti talmente di base, che non possiamo negarli senza perdere contatto con la realta`. L’uguaglianza 1+1=2 non e` uno di questi, infatti possiamo definire un’aritmetica in cui 1+1=1 senza problemi. O peggio: se vogliamo descrivere l’unione (sessuale) in coppie di essere umani 1+1 non e` ben definito e spesso diverso da 2. Quindi gia` per l’aritmetica dobbiamo pensare ad una base teorica che sia accettata dal senso comune. Qualcosa che tutti dicano “e` logico!”.
I matematici sentirono piu` che mai la necessita` di costruire una matematica indistruttibile all’inizio del 1900, quando grazie alla matematica l’uomo sembrava poter spiegare tutto. E` il periodo del positivismo: la fisica sembra spiegare il cosmo, la biologia la vita, la sociologia la societa`. Tutto si basandosi sulla matematica. Dimostrare scientificamente in questo periodo vuol dire poter ridurre il problema in termini matematici. Durkheim in sociologia introduce il concetto di elemento analizzabile statisticamente. Marx poco prima afferma di aver dimostrato scientificamente come funziona la societa` capitalista, i rapporti di produzione. Marx ci tiene a dire che non fa altro che osservare, utilizzare la matematica e la logica, ed arrivare a conclusioni scientifiche.
E` chiaro che a questo punto si sente la necessita` di dimostrare che la matematica stessa e` necessariamente come e`. Ossia: se do per vere certe affermazioni “logiche” ne deriva tutto l’edificio della matematica, e quindi i risultati in fisica, sociologia, economia…
Cio` che accadde all’inizio del 1900, chiaramente, e` il risultato di un lavoro di secoli. Tutti i filosofi-matematici che hanno lavorato per costruire le basi della matematica nel 900 si basavano su concetti sviluppati nei precedenti 3000 anni, dai matematici indiani, ai babilonesi, greci, arabi, e per finire europei. Si senti` quindi la necessita` di sistemare l’apparato concettuale, di arrivare ad un punto finale.
La stessa cosa accadde per la fisica, che poteva spiegare praticamente tutto, tranne due cose: lo spettro di emissione del corpo nero e la velocita` della luce in sistemi di riferimento in moto relativo. Il tentativo di spiegare questi due fenomeni, di completare l’apparato teorico che spiega le leggi di natura, porto` al collasso delle certezze anteriori. Come quando in montagna si pensa che la vetta sia a pochi metri, ma si scopre che era solo un cambiamento di pendenza, e c’e` da camminare ancora molto.
Forse i filosofi (siano fisici, matematici, sociologi, economisti) si dividono in due grandi insiemi: quelli che pensano che la propria “scienza” possa arrivare a spiegare perfettamente l’ambiente che li circonda, e quelli che credono di poter arrivare ad una buona approssimazione, ma mai ad una teoria totale.
L’equivalente dello spettro di radiazione del corpo nero in matematica fu il paradosso di Russel, “scoperto” nel 1902. Russel invio` una lettera a frege, che stava scrivendo i Grundgesetze der Arithmetik, il quale dovette aggiungere, solo per questo giochetto mentale, un’appendice alla sua opera.
Dopodiche’ i matematici-logici cominciarono a cercare un modo per costruire una logica che non contenesse il paradosso di Russel. Quest’avventura porto` la matematica e la logica a fondersi con l’epistemologia (intesa come scienza della conoscenza), l’ontologia e lo studio del linguaggio. Sembrava che alla fine la chiave di tutto potesse essere il linguaggio: definendo una grammatica sufficientemente precisa, forse avremmo evitato contraddizioni.
Le menti piu` brillanti si occuparono di dare una base alla logica: Russel, Whithead, Hilbert, i matematici del gruppo Bourbaki, Wittgenstein… finche’ arrivo` Goedel, con il teorema di incompletezza (incompletudo). In ogni sistema logico ci sono delle affermazioni che non possono essere dimostrate ne` vere ne` false.
Per quanto astratto e basico possa essere il mio linguaggio, ci sara` sempre qualcosa che non posso dimostrare.
2 Da Euclide a Peano
Il teorema di Goedel, o il semplice fallimento del programma di Hilbert, non puo` portare ad un’apatica considerazione che “non vale la pena investigare nulla, tanto e` tutto sbagliato o incompleto”. Non sapremo mai perche’ la materia interagisce come interagisce, ma aver ridotto cosi` ai minimi termini le leggi fondamentali della natura rimane un traguardo sublime della mente umana. Primo perche’ l’uomo, oltre che animale sociale, e` anche animale curioso, ed e` piu` soddisfacente spiegare un lampo in termini di campo elettrico che con buffi personaggi mitologici. Secondo perche’ il potere di previsione delle scienze e` enorme, e questo ha portato a costruire strumenti portentosi. La conoscenza scientifica, attraverso l’applicazione tecnologica, produce ricchezza. La scienza e` una merce riproducibile a piacere, e per la prima volta nella storia dell’uomo il problema del benesere ha a che vedere con la distribuzione di ricchezza, non con la produzione.
Cosi` non possiamo buttare il bambino con l’acqua sporca, e possiamo iniziare lo studio della matematica con la definizione di numero piu` vicina all’ideale positivista –gli assiomi di Peano.
Peano ha seguito il programma di Euclide, che fu il primo a fondare un programma scientifico su degli assiomi.
Quelli che oggi chiamiamo assiomi venivano chiamati da Euclide nozioni comuni. Qualcosa che non ha bisogno di prova.
Euclide fu il primo a pensare ad una costruzione assiomatica della geometria. Defini` 5 assiomi, a partire dai quali costrui` tutta la geometria euclidea:
i. e` sempre possibile tracciare un segmento tra due punti
ii. qualsiasi segmento puo` essere prolungato indefinitamente in entrambe le direzioni
iii. dato un segmento esiste sempre un cerchio che abbia comeraggio la lunghezza del segmento
iv. tutti gli angoli retti sono uguali
v. se due rette a e b intersecano una terza retta c, a e b si intersecano nella parte di spazio dove la somma degli angoli interni con c e` minore di due angoli retti.
Il quinto assioma fu introdotto da Euclide piu` tardi, quando si rese conto che non riusciva a dimostrarlo. Per quasi 2000 anni i matematici tentarono di dimostrarlo, finche’ Gauss, nel 1700, capi` che era possibile costruire geometrie in cui il quinto assioma non era valido, le geometrie non-euclidee, appunto. Per esempio se io definisco una retta come uno dei cerchi massimi di una sfera, due rette si intersecano sempre in due punti, ragion per cui il quinto postulato non e` valido.
Ora potremmo pensare che l’aritmetica e` qualcosa di cosi` ovvio e comune che non ha bisogno di essere a sua volta assiomatizzata, derivata da un insieme di assiomi. Invece no. abbiamo gia` detto all’inizio che non e` cosi` ovvio che 1+1=2…cosi` prima di tutto partiremo dal concetto di uguaglianza. Ossia, dati due numeri x e y abbiamo:
o x=y oppure x != y.
e per noi sara` sempre vero che:
i. x=x
ii. se x=y allora y=z
iii. se x=y e y=z allora x=z
A partire da questi concetti logici definiremo l’insieme dei numeri naturali con una serie di affermazioni, di assiomi. Gli assiomi che definiscono i numeri naturali sono stati formulati per la prima volta dal matematico torinese Peano. E sono:
1. 1 e` un numero naturale, ossia l’insieme N dei numeri naturali non e` vuoto.
2. per ogni x in N esiste sempre un numero successivo x’.
3. abbiamo sempre x’ != 1. ossia e` possibile definire un numero che inizia la serie dei numeri naturali, ed e` il numero 1
4. se x’=y’ allora x=y, ossia per ogni numero abbiamo sempre un unico successivo.
5. se abbiamo un insieme M per cui:
i. 1 appartiene a M
ii. x’ appartiene a M se x appartiene a M
allora M contiene tutti i numeri naturali.
E` importante notare che i numeri naturali partono da 1, e non da 0. Il numero 0, che a noi sembra cosi` naturale, e` un concetto che ha rivoluzionato la matematica –la maggior parte delle civilta` antiche non possedevono lo zero come lo concepiamo noi. Il concetto moderno di zero fu introdotto dal matematico indiano Brahmagupta. Il matematico arabo (iraqeno) al-Khwarizmi introdusse nell’area mediterranea la Arte del calcolo Indu`, e il matematico pisano Fibonacci, tra altri, lo porto` in Europa. E` importante che ancora Fibonacci parla di numeri 1…9, mentre chiama lo zero un segno. Perche’?
Per il concetto di numero ci rifacciamo qui a Piaget (Epistemologia Genetica). Piaget studio` il processo di comprensione del mondo di un bambino, come differenti stadii. Solo ad una certa eta` il bambino capisce che 3 mele e 3 banane hanno in comune… il fatto di essere 3. La quantita` rimane comunque un concetto elastico. Il bambino puo` contare fino a 10 ma non capire che 10 sassolini raggruppati sono la stessa cosa di 10 sassolini sparsi, ne` di meno ne` di piu`. E` chiaro pero` che chiedere se nessuna mela ha qualcosa in comune con nessuna banana non ha molto senso. Il numero zero ha qualcosa di sfuggente, e non e` per nulla immediato: similmente in europa fino al 1200 lo zero non era stato assimilato.
3 I numeri naturali e la notazione decimale
Visto che siamo arrivati alla definizione di numeri naturali possiamo studiare come i numeri naturali sono rappresentati nella notazione decimale, o araba. In questa notazione si utilizzano 10 cifre (dall’arabo sifr, zero) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Queste cifre indicano un numero diverso a seconda della posizione.
Partendo da destra verso la sinistra diciamo che abbiamo la colonna delle unita`, delle decine, delle centinaia, migliaia e cosi` via. Per esempio 3972:
2 unita`
7 decine
9 centinaia
3 migliaio
ossia 3000 + 900 + 70 + 2,
ossia 3 x 10^3 + 9 x 10^2 + 7 x 10^1 +2 x 10^0
Questo perche’ stiamo lavorando in base 10: ad ogni colonna corrisponde una potenza di 10. Se stessimo lavorando in base 8 avremmo solo 8 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7) e ad ogni colonna corrisponderebbe una potenza di 8.
Per esempio i Babilonesi lavoravano in base 60, i Maya in base 20, alcune tribu` amazzoniche e i fisici sperimentali in base 16. I greci e i vari discendenti in base 10, cosi` come gli Incas.
Babilonesi e Maya avevano un modo di rappresentare i numeri abbastanza simile: entrambi avevano una nozione dello zero solo come “elemento nullo”, e non come cifra.
4 I numeri interi, razionali e irrazionali
Dopo tutta questa storia possiamo dire che oltre ai numeri naturali, che si denotano con la lettera N, 1,2,…. abbiamo lo zero.
Una volta introdotto lo zero appare naturale introdurre i numeri negativi. Lo zero puo` essere visto come il numero prima di 1, quindi possiamo definire -1 come il numero prima di 0 e cosi` via. Abbiamo quindi una serie di numeri che van da -infinito a +infinito:
….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,….
Questi sono i numeri interi, denotati con la lettera Z. Un po’ come dire “Ho 4 banane, non ho banane, ho voglia di 5 banane –me ne mancano 5″. Possiamo rappresentare i numeri interi su di una retta infinita:
-2 -1 0 1 2 3 4
…__.__.__.__.__.__.__.__…
Appare subito evidente che non stiamo prendendo tutti i punti della retta. Gia` che ci siamo potremmo cercare un inseme di numeri che ci permetta di identificare ogni punto!
Passiamo quindi ai numeri razionali. I numeri razionali, Q, sono tutti quei numeri che possono essere identificati con una frazione. Ossia 1/2, 6/5 etc.
Sempre gli antichi greci, fino a Pitagora, pensavano che i numeri razionali identificassero ogni punto della retta. La cosa non e` cosi` assurda: se prendiamo i numeri tra 0 e 1 esprimibili come frazione o numero decimale:
0.1, 0.11, 0.101 etc etc
sono infiniti, e riempiono in maniera densa il segmento: ossia in ogni intervallo, per quanto piccolo, troviamo un numero infinito di punti corrispondenti.
Vale a dire che ogni segmento, di qualsiasi lunghezza, puo` essere descritto come una frazione di un altro segmento preso come unita`. Il problema apparve a Pitagora, quando cerco` di misurare la diagonale di un quadrato di lato 1. Sembrava che questa diagonale non fosse esprimibile come frazione del lato. Pitagora tenne segreta questa scoperta, sembrava che fosse necessario abbandonare l’idea di descrivere la natura in termini di numeri. Ma, in realta`, aveva semplicemente scoperto una nuova “famiglia” di numeri, i numeri irrazionali I.
Se uniamo i numeri razionali (tra cui abbiamo anche gli interi) e quelli irrazionali abbiamo i numeri reali, R.
Finalmente, tra numeri naturali, interi, razionali e irrazionali siamo arrivati ad un insieme di numeri che possono descrivere tutti i punti di una retta.
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